[제2회] 실수체, 복소수체 위의 수반작용소로서의 상상행렬: 내적의 성질

[제2회] 실수체, 복소수체 위의 수반작용소로서의 상상행렬: 내적의 성질

uriel 6 17738 0 0
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6 Comments
Trakatus 2022.05.10 15:05  
답변
복소수에서 내적은 i곱할때 conjugate 를 취해야합니다. 그러면 A의 adjoint는 -A라고 주장할수 있겠네요
uriel 2022.05.10 15:09  
답변
앗 깜빡했네요
이것도 추후 수정할게요
uriel 2022.05.10 15:59  
답변
수정 완료했습니다

2022.05.10
Trakatus 2022.05.11 00:54  
답변
정리 1에서의 내적이 $\langle -,- \rangle_{\mathbb{R}}:(x,y)\mapsto x^\top y$ 이라는 점이랑

정리 2에서의 내적은 $\langle -,- \rangle_{\mathbb{C}}:(x,y)\mapsto x^\ast H y$ 라는 점을 좀 강조하고 싶네요.

Standard 한 내적에서 우리가 고유벡터들로 쪼갠 두 공간이 수직이라는 보장이 없으니까.

결론적으로 임의의 상상행렬 $A$와, $H({\ker(A-iI)})=[\ker(A+iI)]^\top$인 hermitian positive-definite인 $H$에 대해  $A^\ast H+HA=0$ 다라고 할 수 있죠.
uriel 2022.05.11 08:59  
답변
되게 깔끔하게 정리되네요!
uriel 2022.05.11 09:04  
답변
흠 이제 보니 정리 1은 굳이 실수체로 한정할 필요는 없네요
거기다 유한체의 경우에도 될 것 같구요
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