[제2회] p=2 이고 대각성분의 합이 0인 상상행렬은 무수히 많이 존재한다

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[제2회] p=2 이고 대각성분의 합이 0인 상상행렬은 무수히 많이 존재한다

류대식 0 2595 0 0

정리

대각성분의 합이 00인 2차원 상상행렬은 무수히 많이 존재한다.

증명

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} 라 두면 A2=[a2+bcb(a+d)(a+d)cbc+d2] A^{2} = \begin{bmatrix} a^{2} + bc & b \left( a+d \right) \\ \left( a+d \right) c & bc + d^{2} \end{bmatrix} 이므로 trA=a+d=0\text{tr}A = a + d = 0 에 조건을 맞추면 a2=d2a^2 = d^2 이므로 22차원 상상행렬은 a2+bc=1a^{2} + bc = -1 을 따라 무수히 많이 존재합니다.

예시

[1211]\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

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