정리

대각성분의 합이 $0$인 2차원 상상행렬은 무수히 많이 존재한다.

증명

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 라 두면 $$A^{2} = \begin{bmatrix} a^{2} + bc & b \left( a+d \right) \\ \left( a+d \right) c & bc + d^{2} \end{bmatrix}$$ 이므로 $\text{tr}A = a + d = 0$ 에 조건을 맞추면 $a^2 = d^2$ 이므로 $2$차원 상상행렬은 $a^{2} + bc = -1$ 을 따라 무수히 많이 존재합니다.

예시

$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$